前ページに示しましたように，”母分散σがわかっている場合”の区間推定の計算方法を示しました．
\(\Large \bar{x} - 1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \hspace{12 pt}\leq \hspace{12 pt} \mu \hspace{12 pt} \leq \hspace{12 pt} \bar{x} + 1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \)
すなわち，
測定平均，\(\Large \bar{x} \) と母分散σ2，と試行回数ｎがわかれば，母平均μの範囲がわかる＝区間推定ができる
というものでした．
しかし，そもそもわからないものを推定するのですから，母分散σ2，だってわからないのが当然でしょう．
測定からわかるのはせいぜい，不偏分散，ぐらい．．．
\(\Large \displaystyle s^2 = \frac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \)
じゃあ，何とか，σ2とｓが入った関係式を見つけ出し，それをうまく組み合わせることにより，σ2を消去し，ｓを残せば，実際に得られたデータから区間推定ができるんじゃないかと考えたのが，
ｔ検定
です（と思います．．．．．）．
つまり，母分散がわかっている状態での区間推定で使われている指標をZとすると，
\(\Large Z =\displaystyle \frac{\bar{x} - \mu}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \rightarrow \frac{\bar{x} - \mu}{ \sqrt{\frac{s^2}{n}}} = t \)
と変換すればいいのです．これからの導出は，こちらのサイト，を参考にしました，ありがとうございます．まず，
\(\Large \displaystyle s^2 = \frac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \)
です，すると，
\(\Large t = \displaystyle \frac{\bar{x} - \mu}{ \sqrt{\frac{s^2}{n}}} = \frac{\bar{x} - \mu}{ \sqrt{ \displaystyle \frac{1}{n} \displaystyle \frac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}}\)
となります．
ここで，新しい指標，U，を導入します．ここには，σ2とｓが入っているので期待大です
\(\Large \displaystyle U = \frac{(n-1) s^2}{ \sigma^2} = \frac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{ \sigma^2} = \chi_{n-1}^2\)
最後の，
\(\Large \displaystyle \chi_{n-1}^2\)
は自由度１のカイ二乗分布となります（導出はこちらで）
\(\Large \displaystyle s^2 = \frac{ U \sigma^2}{ n-1} \)
となるので，
\(\Large \displaystyle Z =\displaystyle \frac{\bar{x} - \mu}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \rightarrow \bar{x} - \mu = \sqrt{ \frac{\sigma^2}{n}} Z\)
\(\Large \displaystyle t = \frac{\bar{x} - \mu}{ \sqrt{\frac{s^2}{n}}} \rightarrow \frac{\sqrt{ \frac{\sigma^2}{n}} Z}{ \sqrt{\frac{s^2}{n}}}
=
\displaystyle \frac{\sqrt{ \frac{\sigma^2}{n}} Z}{ \displaystyle \sqrt{\frac{1}{n} \frac{U \sigma^2}{n-1}}}
= \frac{Z}{\sqrt{ \frac{U}{n-1}}}
\)
とｔの分布は，自由度n-1のカイ二乗分布（U）とZ（標準化正規分布）に従う分布となります．
実際のｔの値は，
\(\Large \displaystyle t = \frac{\sqrt{ \frac{\sigma^2}{n}} Z}{ \sqrt{\frac{s^2}{n}}} \)
ですが，
\(\Large Z =\displaystyle \frac{\bar{x} - \mu}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \)
ですので，
\(\Large \displaystyle t = \frac{\sqrt{ \frac{\sigma^2}{n}} Z}{ \sqrt{\frac{s^2}{n}}} = \frac{\bar{x} - \mu}{ \sqrt{\frac{s^2}{n}}}\)
として実験結果から計算することができます．
つまり，
母分散がわかっている場合は，
\(\Large \displaystyle - 1.96 \hspace{52 pt}\leq \hspace{12 pt} \frac{\mu - \bar{x}}{ \sqrt{\frac{\color{red}{\sigma}^2}{n}}} \hspace{12 pt} \leq \hspace{12 pt} 1.96 \)
母分散がわからない場合には，
\(\Large \displaystyle - t_{\alpha/2} (n-1) \hspace{12 pt}\leq \hspace{12 pt} \frac{\mu - \bar{x}}{ \sqrt{\frac{\color{red}{s}^2}{n}}} \hspace{12 pt} \leq \hspace{12 pt} t_{\alpha/2} (n-1) \)
となるのです．
ｔ分布自体は，
\(\Large \displaystyle f(t) = \frac{ \Gamma (\frac{n}{2}) }{ \sqrt{(n-1) \pi} \ \Gamma ( \frac{n-1}{2})} \left( 1 + \frac{t^2}{n-1} \right)^{- \frac{n}{2}}\)
となりますが，この導出は．．．．．ここ，にありますが．．．勉強します．
なんとか解けました！，ここ，に記しました！
実際の波形は，
と若干先鋭化した正規分布のような形となります．
では，ここで重要となる，
\(\Large \displaystyle \chi_{n-1}^2 \)
という，自由度１のカイ二乗分布を検討していきましょう．
